Гармонические колебания обруча.

Рассмотрим тонкий обруч с легкими спицами, на

оси которого закреплена спиральная пружина, под действием которой он совершает крутильные колебания с малыми отклонениями угла φ от равновесного положения (φ_равн = 0). При малых отклонениях φ от положения равновесия смещение АВ практически совпадает с касательной и величина смещения может быть записана как

(1)

Если теперь смещение изменяется по гармоническому закону

(2)

то и угол отклонения изменяется по такому же закону

(3)

где ω=2π/Т – циклическая частота колебаний, α - начальная фаза. Если в начальный t₀= 0 момент времени обруч находился в равновесном положении φ₀= 0 (x₀= 0), то α= π/2. Значения скорости точек обруча в любой момент времени определяется уравнением

(4)

И соответственно значения угловой скорости поворота обруча

(5)

Здесь угловая скорость обозначена ω_y, чтобы не смешивать ее с циклической частотой ω. В момент прохождения положения равновесия модули линейной и угловой скоростей имеют наибольшие значения

(6)

Ускорения точек колеблющегося обруча подчиняются уравнению

Здесь a_τ – касательное (тангенциальное) ускорение точек обруча, β_y=a_r/R – так называемое угловое ускорение (т.е. быстрота изменения угловой скорости ω_y, которая для колеблющего обруча не является постоянной величиной).

Вычислим также значение кинетической энергии, принимая во внимание, что масса т обруча равномерно распределена по окружности радиуса R, поэтому для элемента массы , отвечающего малому участку обруча , можно записать

При выборе достаточно малых такие массы можно считать точечными и кинетическую энергию массы записать в виде

Для кинетической энергии всего обруча просуммируем по всем элементам или по всем малым углам

Здесь - знак суммирования и постоянные величины вынесены за знак суммирования (т.е. вынесены за скобки). Кинетическую энергию обруча с помощью соотношения (5) можно также представить в форме

Здесь j=mR² – момент инерции обруча, который характеризует инертность обруча по отношению к вращению.

Запишем кинетическую энергию развернуто

Заменяя Sin²(ωt+α) через функцию удвоенного аргумента, получим

Из формулы (15) видно, что кинетическая энергия изменяется с удвоенной частотой и принимает максимальное значение дважды за период. Максимальные значения отвечают φ=0 (т.е. прохождению положения равновесия)и значению аргумента ωt+α=π/2 , при этом

Работа силы F на малом перемещении равна

где M=F*R – момент силы F (с плечом R) приложенной к обручу. Под действием силы F все элементы обруча приобретают ускорение a_τ , поэтому можно записать

Подставляя выражение для силы (18) в формулу (17), получаем

Сравнивая соотношения (17) и (19) получаем

Это выражение представляет собой закон динамики вращательного движения тела вокруг оси. Величина работы А отвечающая отклонению φ равна

Соответствующее изменение потенциальной энергии пружины

или, с использованием функции двойного аргумента

Максимальное значение потенциальной энергии отвечает углу φ=φ_m (ωt+α=πn)

Для гармонических колебаний выполняется закон сохранения энергии

Для произвольного момента времени, складывая выражения (22), (14) получаем

где ε – полная механическая энергия маятника.

Пример:

Квадратная рамка со стороной l , которая может свободно вращаться вокруг оси ОО^' (см. рис. 2), находится в магнитном поле с индукцией . Направление магнитного поля перпендикулярно плоскости рамки, по которой течет ток силы I. Определить период колебаний рамки в магнитном поле, если момент инерции рамки равен j.

Решение:

Для того, чтобы отклонить рамку с током I в магнитном поле , необходимо совершить работу

(1)

где - изменение потока магнитного поля через площадь рамки.

При отклонении рамки на малый угол φ_m изменение потока составит

ΔΦ=Φ_K-Φ_Н=BSCosφ_m-BS=-BS(1-Cosφ_m) (2)

Совершаемая работа пойдет на изменения потенциальной энергии

Для малых углов потенциальную энергию можно представить в форме

где S=l² – площадь рамки. По закону сохранения энергии

Откуда получаем